Bagaimana cara pemfaktoran aljabar?

Dalam matematika, pemfaktoran adalah tindakan mencari bilangan-bilangan atau ekspresi-ekspresi yang jika dikalikan akan menghasilkan bilangan atau persamaan yang diberikan. Pemfaktoran adalah keterampilan yang berguna untuk dipelajari untuk menyelesaikan soal-soal aljabar sederhana; kemampuan untuk memfaktorkan dengan baik, menjadi penting saat menghadapi persamaan-persamaan kuadrat dan bentuk polinomial lainnya. Pemfaktoran dapat digunakan untuk menyederhanakan ekspresi aljabar untuk membuat penyelesaiannya lebih mudah. Pemfaktoran bahkan dapat memberikan Anda kemampuan untuk menghilangkan jawaban-jawaban tertentu yang mungkin, jauh lebih cepat daripada menyelesaikannya secara manual.

Metode 1 dari 3: Memfaktorkan Bilangan dan Ekspresi Aljabar Sederhana

1
Pahami definisi pemfaktoran saat diterapkan pada bilangan-bilangan tunggal. Pemfaktoran adalah konsep yang sederhana, tetapi dalam praktiknya, dapat menjadi sesuatu yang menantang saat diterapkan pada persamaan-persamaan rumit. Karena itu, paling mudah untuk melakukan pendekatan konsep pemfaktoran dengan mulai dari bilangan-bilangan sederhana, kemudian dilanjutkan ke persamaan-persamaan sederhana, sebelum akhirnya melanjutkan ke terapan yang lebih rumit. Faktor-faktor dari sebuah bilangan adalah bilangan-bilangan yang jika dikalikan akan menghasilkan bilangan tersebut. Misalnya, faktor dari 12 adalah 1, 12, 2, 6, 3, dan 4, karena 1 × 12, 2 × 6, dan 3 × 4 sama dengan 12.
- Cara lain untuk membayangkannya adalah bahwa faktor-faktor sebuah bilangan adalah bilangan-bilangan yang dapat membagi habis bilangan tersebut.
- Dapatkah Anda mencari semua faktor dari bilangan 60? Kita menggunakan bilangan 60 untuk beragam tujuan (menit dalam satu jam, detik dalam satu menit, dst.) karena dapat dibagi habis oleh cukup banyak bilangan-bilangan lain.
  - Faktor dari 60 adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, dan 60.
2
Pahami bahwa ekspresi-ekspresi variabel juga dapat difaktorkan. Sama seperti bilangan-bilangan sendiri yang dapat difaktorkan, variabel dengan koefisien bilangan juga dapat difaktorkan. Untuk melakukannya, carilah saja faktor-faktor koefisien variabelnya. Mengetahui cara memfaktorkan variabel sangat berguna untuk menyederhanakan persamaan-persamaan aljabar yang meliputi variabel tersebut.
- Misalnya, variabel 12x dapat ditulis sebagai hasil perkalian dari faktor-faktor 12 dan x. Kita dapat menulis 12x sebagai 3(4x), 2(6x), dst., menggunakan faktor-faktor mana pun dari 12 yang paling baik untuk tujuan kita.
  - Kita bahkan dapat memfaktorkan 12x beberapa kali. Dengan kata lain, kita tidak harus berhenti di 3(4x) atau 2(6x) – kita dapat memfaktorkan 4x dan 6x untuk menghasilkan 3(2(2x) dan 2(3(2x). Tentunya, dua ekspresi ini setara.
3
Terapkan sifat distributif perkalian untuk memfaktorkan persamaan-persamaan aljabar. Menggunakan pengetahuan Anda tentang cara memfaktorkan baik bilangan-bilangan tunggal maupun variabel-variabel dengan koefisien, Anda dapat menyederhanakan persamaan aljabar sederhana dengan mencari faktor-faktor yang dimiliki oleh bilangan-bilangan dan variabel tersebut dalam persamaan alajabar. Biasanya, untuk membuat persamaannya sesederhana mungkin, kita mencoba mencari faktor persekutuan terbesarnya. Proses penyederhanaannya mungkin untuk dilakukan karena sifat distributif perkalian, yang berlaku untuk bilangan a, b, dan c apa pun a(b + c) = ab + ac.
- Ayo coba sebuah contoh soal. Untuk memfaktorkan persamaan aljabar 12x + 6, pertama, ayo coba cari faktor persekutuan terbesar dari 12x dan 6. 6 adalah bilangan terbesar yang dapat membagi habis 12x dan 6, sehingga kita dapat menyederhanakan persamaannya menjadi 6(2x + 1).
- Proses ini juga berlaku pada persamaan-persamaan dengan bilangan negatif dan pecahan. Misalnya, x/2 + 4, dapat disederhanakan menjadi 1/2(x + 8), dan -7x + -21 dapat difaktorkan menjadi -7(x + 3).

Metode 2 dari 3: Memfaktorkan Persamaan-Persamaan Kuadrat

1
Pastikan bahwa persamaan dalam bentuk kuadrat (ax² + bx + c = 0). Persamaan-persamaan kuadrat memiliki bentuk ax² + bx + c = 0, dengan a, b, dan c sebagai konstanta bilangan dan tidak sama dengan 0 (perhatikan bahwa a dapat sama dengan 1 atau -1). Jika Anda memiliki persamaan yang memiliki satu variabel (x) yang memiliki satu suku x pangkat dua atau lebih, Anda biasanya memindahkan suku-suku ini dalam persamaan menggunakan operasi aljabar sederhana untuk mendapatkan 0 di salah satu sisi tanda sama dengan dan ax², dst. di sisi yang lain.
- Misalnya, ayo pikirkan persamaan aljabar. 5x² + 7x - 9 = 4x² + x - 18 dapat disederhanakan menjadi x² + 6x + 9 = 0, yang merupakan bentuk kuadrat.
- Persamaan-persamaan dengan pangkat x yang lebih besar, seperti x³, x⁴, dst. bukanlah persamaan-persamaan kuadrat. Persamaan-persamaan ini adalah persamaan kubik, pangkat empat, dan seterusnya, kecuali persamaannya dapat disederhanakan untuk menghilangkan suku-suku x dengan pangkat lebih besar dari 2 ini.
2
Dalam persamaan kuadrat, dengan a = 1, difaktorkan menjadi (x+d )(x+e), dengan d × e = c dan d + e = b. Jika persamaan kuadrat Anda dalam bentuk x² + bx + c = 0 (dengan kata lain, jika koefisien dari suku x² = 1), mungkin (tetapi tidak menjamin) bahwa cara singkat yang cukup mudah dapat digunakan untuk memfaktorkan persamaan. Carilah dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan c dan dijumlahkan menghasilkan b. Setelah Anda mencari kedua bilangan d dan e ini, letakkan keduanya dalam ekspresi berikut: (x+d)(x+e). Kedua suku ini, jika dikalikan, menghasilkan persamaan kuadrat Anda – dengan kata lain, kedua suku ini adalah faktor-faktor persamaan kuadrat Anda.
- Misalnya, ayo pikirkan persamaan kuadrat x² + 5x + 6 = 0. 3 dan 2 dikalikan menghasilkan 6 dan juga dijumlahkan menghasikan 5, sehingga kita dapat menyederhanakan persamaan ini menjadi (x + 3)(x + 2).
- Sedikit perbedaan dalam cara singkat dasar ini terdapat pada perbedaan persamaannya sendiri:
  - Jika persamaan kuadrat dalam bentuk x²-bx+c, jawaban Anda dalam bentuk ini: (x - _)(x - _).
  - Jika persamaan dalam bentuk x²+bx+c, jawaban Anda tampak seperti ini: (x + _)(x + _).
  - Jika persamaan dalam bentuk x²-bx-c, jawaban Anda dalam bentuk (x + _)(x - _).
- Catatan: bilangan-bilangan dalam tempat kosong dapat berupa pecahan atau desimal. Misalnya, persamaan x² + (21/2)x + 5 = 0 difaktorkan menjadi (x + 10)(x + 1/2).
3
Jika memungkinkan, faktorkan melalui pemeriksaan. Percaya atau tidak, untuk persamaan-persamaan kuadrat yang tidak rumit, salah satu cara memfaktorkan yang diperbolehkan adalah dengan memeriksa soal, kemudian mempertimbangkan jawaban-jawaban yang mungkin hingga Anda menemukan jawaban yang benar. Cara ini juga disebut dengan pemfaktoran melalui pemeriksaan. Jika persamaan dalam bentuk ax²+bx+c dan a>1, jawaban faktor Anda dalam bentuk (dx +/- _)(ex +/- _), dengan d dan e adalah konstanta bilangan bukan nol yang jika dikalikan menghasilkan a. Baik d maupun e (atau keduanya) dapat berupa bilangan 1, meskipun tidak harus. Jika keduanya adalah 1, Anda pada dasarnya menggunakan cara singkat yang dideskripsikan di atas.
- Ayo pikirkan sebuah contoh soal. 3x² - 8x + 4 awalnya terlihat sulit. Akan tetapi, setelah kita menyadari bahwa 3 hanya memiliki dua faktor (3 dan 1), persamaan ini menjadi lebih mudah karena kita tahu bahwa jawaban kita pasti dalam bentuk (3x +/- _)(x +/- _). Dalam hal ini, menambahkan -2 ke kedua tempat kosong memberikan jawaban yang benar. -2 × 3x = -6x dan -2 × x = -2x. -6x dan -2x dijumlahkan menjadi -8x. -2 × -2 = 4, sehingga kita bisa melihat bahwa suku-suku yang difaktorkan dalam tanda kurung jika dikalikan akan menghasilkan persamaan awal.
4
Selesaikan dengan melengkapkan kuadrat. Dalam beberapa kasus, persamaan kuadrat dapat dengan cepat dan mudah difaktorkan menggunakan identitas aljabar khusus. Persamaan kuadrat apa pun dalam bentuk x² + 2xh + h² = (x + h)². Jadi, jika dalam persamaan Anda, nilai b Anda dua kali akar kuadrat dari nilai c Anda, persamaan Anda dapat difaktorkan menjadi (x + (akar (c)))².
- Misalnya, persamaan x² + 6x + 9 memiliki bentuk ini. 3² adalah 9 dan 3 × 2 adalah 6. Jadi, kita tahu bahwa bentuk faktor persamaan ini adalah (x + 3)(x + 3), atau (x + 3)².
5
Gunakan faktor-faktor untuk menyelesaikan persamaan-persamaan kuadrat. Tanpa memperhatikan cara Anda memfaktorkan persamaan kuadrat Anda, setelah persamaannya difaktorkan, Anda dapat mencari jawaban-jawaban yang mungkin untuk nilai x dengan membuat setiap faktor sama dengan nol dan menyelesaikannya. Karena Anda mencari nilai x yang menyebabkan persamaan Anda sama dengan nol, nilai x yang membuat faktor manapun sama dengan nol, adalah jawaban yang mungkin untuk persamaan kuadrat Anda.
- Ayo kembali ke persamaan x² + 5x + 6 = 0. Persamaan ini difaktorkan menjadi (x + 3)(x + 2) = 0. Jika salah satu faktor sama dengan 0, semua persamaan sama dengan 0, sehingga jawaban-jawaban kita yang mungkin untuk x adalah bilangan-bilangan yang membuat (x + 3) dan (x + 2) sama dengan 0. Bilangan-bilangan ini masing-masing adalah -3 dan -2.
6
Periksa jawaban-jawaban Anda – beberapa jawabannya mungkin menyimpang! Saat Anda menemukan jawaban-jawaban yang mungkin untuk x, masukkan kembali ke dalam persamaan awal Anda untuk melihat jika jawabannya benar. Terkadang, jawaban yang Anda temukan tidak membuat persamaan awalnya sama dengan nol ketika dimasukkan kembali. Kita menyebut jawaban ini menyimpang dan mengabaikannya.
- Ayo masukkan -2 dan -3 ke dalam x² + 5x + 6 = 0. Pertama, -2:
  - (-2)² + 5(-2) + 6 = 0
  - 4 + -10 + 6 = 0
  - 0 = 0. Jawaban ini benar, sehingga -2 adalah jawaban yang benar.
- Sekarang, ayo coba -3:
  - (-3)² + 5(-3) + 6 = 0
  - 9 + -15 + 6 = 0
  - 0 = 0. Jawaban ini juga benar, sehingga -3 adalah jawaban yang benar.

Metode 3 dari 3: Memfaktorkan Bentuk Persamaan Lain

1
Jika persamaannya dalam bentuk a²-b², faktorkan menjadi (a+b)(a-b). Persamaan-persamaan dengan dua variabel memiliki faktor yang berbeda dengan persamaan kuadrat dasar. Untuk persamaan a²-b² apapun dengan a dan b tidak sama dengan 0, faktor-faktor persamaannya adalah (a+b)(a-b).
- Misalnya, persamaan 9x² - 4y² = (3x + 2y)(3x - 2y).
2
Jika persamaannya dalam bentuk a²+2ab+b², faktorkan menjadi (a+b)². Perhatikan bahwa, jika trinomial-nya dalam bentuk a²-2ab+b², bentuk faktornya sedikit berbeda: (a-b)².
- Persamaan 4x² + 8xy + 4y² dapat ditulis ulang sebagai 4x² + (2 × 2 × 2)xy + 4y². Sekarang, kita bisa melihat bahwa bentuknya sudah benar, sehingga kita bisa yakin bahwa faktor-faktor persamaan kita adalah (2x + 2y)²
3
Jika persamaannya dalam bentuk a³-b³, faktorkan menjadi (a-b)(a²+ab+b²). Akhirnya, sudah disebutkan bahwa persamaan-persamaan kubik dan bahkan pangkat yang lebih tinggi, dapat difaktorkan, meskipun proses pemfaktorannya dengan cepat berubah menjadi sangat rumit.
- Misalnya, 8x³ - 27y³ difaktorkan menjadi (2x - 3y)(4x² + ((2x)(3y)) + 9y²)